6

Bohmian Mekanik

Overvej ligningen PV = nRT . Denne ligning relaterer presset, volumen og temperatur af en ideel gas. Alle disse begreber er makroskopisk - hvilket betyder, at på niveauet af de molekyler, der udgør gassen betydningen af 'tryk,' 'volumen, "og" temperatur "opløses. Et molekyle kan ikke have et tryk, kan det ikke siges at repræsentere et volumen af ​​gas, og det ikke besidder temperatur. Alle tre af disse begreber begynder at tage på betydning som vi zoome ud og overveje en samling af molekylerne, og redegøre for deres bevægelser - som vi overgangen fra en mikroskopisk skala til en makroskopisk skala.

Hvad betyder det at sige, at denne ligning vedrører egenskaber ved en ideel gas? Hvad er en ideel gas? Det betyder, at energibesparelser og lukket system overvejelser gælder. I tilfælde af vores gas betyder det, at interaktioner / kollisioner mellem molekylerne er alle helt elastisk. Gasser, der udviser målbare uelastisk i deres interaktioner ikke præcist kan repræsenteres af denne ligning på alle makroskopiske skalaer.

Hvorfor taler vi om alt dette? Nå matematikken, der bedst efterligner den geometriske struktur QST til dato er fanget af et sæt af ligninger er kendt som Bohmian mekanik. Den Bohmian formalisme har vist sig at gøre alle de forudsigelser, der standardmodellen af kvantemekanikken gør - identisk - mens de resterende en deterministisk teori. Men Bohmian mekanik (og standard ligninger kvantemekanikkens) er ude af stand til at inkorporere de geometriske effekter af tyngdekraften ind i deres modeller.

Lad os undersøge en kandidat grund til, hvorfor dette er tilfældet. For at gøre Bohmian formalisme fuldstændig repræsentativ for geometrien af ​​QST lad os behandle ligningerne i denne formalisme som makroskopiske udtryk for idealiserede vekselvirkninger mellem kvanter rumtidens. Ligesom ligningen PV = nRT Den Bohmian formalisme antager perfekt elasticitet af de underliggende bestanddele i sine makroskopiske udtryk. Det er muligt, at alt, hvad vi skal gøre for at bringe tyngdekraften ind i formalisme er at komme til den underliggende struktur, der relaterer interaktionerne i rumtid kvanter og omfatter en lille anden ordens costs i disse interaktioner. Det ville være ligesom at modellere molekylære interaktioner og tillade dem at have en lille uforanderlig. Gør dette kan give os mulighed for at producere en generel ligning, der fanger adfærd ideale gasser og ikke-ideale gasser samtidigt.

For de interesserede, her er udledningen af Bohmian sæt af ligninger:

Lad os begynde med at tage fat på objektive tilstand af den bølge-funktionen på mikroskopisk niveau. (Mikroskopisk niveau i dette tilfælde betyder på kvante eller Planck skalaen). Hvis vores system (et udvalgt domæne af rumtid) består af N-partikler, så en fuldstændig beskrivelse af dette system vil nødvendigvis indeholde en specifikation af positionerne Q i af hver af disse partikler. På eget, bølgefunktionen \Psi giver ikke en fuldstændig beskrivelse af tilstanden af ​​dette system. I stedet skal en fuldstændig beskrivelse af denne kvantesystems gives ved (Q, \Psi) hvor

Q = (Q_1, Q_2, Q_3 \ldots Q_N) \in \mathbb{R}^{3N}

er konfigurationen af ​​systemet og

\Psi = \Psi(q) = \Psi(q_1, q_2, \ldots q_N)

en (normaliseret) funktionen af ​​konfigurationen rum - de superspatial dimensioner - er dens bølgefunktion.

På dette tidspunkt, alt vi skal gøre for at få vores teori er den lovgivning, af forslag til staten (Q, \Psi) . Selvfølgelig ville den enkleste valg, vi kan gøre her være en, der er kausalt forbundet. Med andre ord er en hvis fremtid bestemmes af dets nuværende specifikation, og mere specifikt, hvis gennemsnitlige samlede tilstand forbliver fast - i hvert fald i den makroskopiske forstand de velkendte fire dimensioner af rumtiden. For at opnå dette har vi simpelthen nødt til at koreografere de partikel beslutningsforslag af første ordens ligninger, der antager elastiske interaktioner. Udviklingen ligning for \Psi er Schrödingers ligning:

i\hbar\frac{\partial \Psi_t}{\partial t} = H\Psi_t = -\sum_{k = 1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_k} \nabla^2q_k \Psi_t + V\Psi_t

Hvor \Psi er den bølge funktion og V er den potentielle energi af systemet.

Derfor, i overensstemmelse med vores tidligere overvejelser bør udviklingen ligningen for Q være:

\frac{d Q_t}{dt} = \upsilon^{\Psi_t}(Q_t) .

med \upsilon^\Psi = (\upsilon^\Psi_1, \upsilon^\Psi_2,\upsilon^\Psi_3, \ldots \upsilon^\Psi_N)

hvor \upsilon^\Psi tager form af en (hastighed) vektor felt på vores valgte konfiguration plads \mathbb{R}^{3N} . Således bølgefunktionen \Psi afspejler bevægelsen af partiklerne i vores system i en makroskopisk gennemsnit-over forstand baseret på den underliggende antagelse af elastisk interaktion. Disse bevægelser koordineres gennem en vektor felt, der er defineret på vores angivne konfiguration plads.

\Psi \mapsto \upsilon^\Psi

Hvis vi blot kræver tid-reverse symmetri og enkelhed at holde i vores system (automatiske nødvendigheder for en deterministisk teori) og derefter,

\upsilon^\Psi_k = \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi}

Bemærk, at der ikke er nogen tvetydigheder her. Gradienten \nabla på højre side er foreslået af rotationsinvariansen, den \Psi i nævneren er en konsekvens af homogenitet (en direkte følge af den omstændighed, at bølgefunktionen skal forstås projektivt, som igen er en forståelse kræves for Galilæeren invariance af Schrödingers ligning alene), Im efter tid-revers symmetri, som er implementeret på \Psi ved komplekse konjugation i overensstemmelse med Schrödingers ligning, og den konstante foran falder direkte ud af kravene for kovarians under galilæiske øger. 1

Derfor udviklingen ligningen for Q er

\frac{dQ_k}{dt} = \upsilon^\Psi_k (Q_1, Q_2, \ldots Q_N) \equiv \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi} (Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Dette afslutter formalisme Bohmian mekanik at David Bohm bygget i 1952. 2 Den matematiske kan synes skræmmende, men begreberne er forbavsende simpel. I vores byggeri har vi overvejet at anvende den analogi af en gas udgøres af elastisk vekselvirkende bestanddele til kvanter af vores spactime system. I forlængelse af de Broglie pilot bølge model 3 denne formalisme udtømmende afbilder en ikke-relativistisk univers af N-partikler uden spin. 4 Spin skal indgå for at kunne redegøre for Fermi og Bose-Einstein statistik. Den fulde form af det styrende ligning, som findes ved at fastholde den komplekse konjugerede af bølgefunktionen, tegner sig for al den tilsyneladende paradoksale kvante fænomener forbundet med spin. For overvejelser uden spin den komplekse konjugerede af bølgefunktionen aflyser, fordi det vises i tæller og nævner af ligningen. Den fulde form af udviklingen ligning er:

 \frac{dQ_k}{dt} = \frac{\hbar}{m_k}Im\left[\frac{\Psi^*\partial_k \Psi}{\Psi^*\Psi}\right](Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Bemærk, at højre side af det styrende ligning er J / Q, forholdet til kvante sandsynligheden strøm til kvante sandsynlighedstætheden. 5

Bemærk, at den idealiserede antagelse i spil er, at \rho = \left|\Psi\right|^2 . Med andre ord, transformation \rho^\Psi \mapsto \rho^{\Psi_t} opstår direkte fra Schrödingers ligning. Hvis disse udviklinger er faktisk komprimerbare, så

(\rho^\Psi)_t = \rho^{\Psi_t}

er equivariant. Derfor i henhold tidsudviklingen \rho^\Psi bevarer sin form som en funktion af \Psi .

Hvis du er interesseret i at deltage i rederiving den Bohmian sæt fra underliggende samspil, der er første-ordens elastisk og anden ordens uelastisk så send en e-mail til QST @ einsteinsintuition. Com.

Bemærkninger:

1. Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, og Nino Zanghí, "Kvantefysik Uden Quantum Filosofi," s. 5-6.

2. D. Bohm, 'En foreslåede fortolkning af kvanteteorien i form af "skjulte" variabler, "Fysisk Rev. 85 (1952), pp. 166-193.

3. L. de Broglie, »La nouvelle dynamique des kvanter," Elektroner ET Fotoner: rapports ET Diskussioner du Cinquieme Conseil de fysik tenu en Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 sous les-regi de l'Institut International de fysik Solvay, Gautheir - Villars, Paris 1928, s. 105-132.

4. Naturligvis i grænsen h / m = 0, Bohm bevægelse Q t nærmer sig den klassiske bevægelse. Se: D. Bohm og B. Hiley, 'udelte Universe: en ontologisk Fortolkning af Quantum Theory,' Routledge & Kegan Paul, London, 1993; Detlef Durr, Sheldon Goldstein, og Nino Zanghi, "Kvantefysik Uden Quantum Filosofi," s. 7.

5. Sheldon Goldstein, "Bohmian Mechanics '. For yderligere eksempler på hvor let spinde kan behandles i Bohmian formalisme se: JS Bell 1966, side 447-452;. D. Bohm 1952, side 166-193.; D. Dürr et al 'En undersøgelse af Bohmian mekanik, Il Nuovo Vimento "og" Bohmian mekanik, identiske partikler, parastatistics og anyons', som forberedelse.

Kommentarer (6)

Trackback URL | Kommentarer RSS Feed

  1. Ben siger:

    Send venligst din bog.

  2. Jeff siger:

    Send venligst din bog. Meget interesseret i at lære mere.

  3. Branton siger:

    Tja, hvis du sende dem - jeg vil gerne have en kopi også!

Efterlad et Svar




Hvis du ønsker et billede at vise med din kommentar, gå få en Gravatar.