6

Mekanika Bohmian

Pertimbangkan persamaan PV = nRT . Persamaan ini menghubungkan tekanan, volume, dan suhu gas ideal. Semua konsep ini makroskopik - yang berarti bahwa pada tingkat molekul yang membentuk gas arti 'tekanan,' 'volume,' dan 'suhu' larut. Satu molekul tidak dapat memiliki tekanan, itu tidak bisa dikatakan mewakili volume gas, dan tidak memiliki suhu. Ketiga konsep ini mulai mengambil makna seperti yang kita zoom out dan mempertimbangkan koleksi molekul dan account untuk gerakan mereka - seperti yang kita transisi dari skala mikroskopis untuk skala makroskopis.

Apa artinya untuk mengatakan bahwa persamaan ini berkaitan sifat gas ideal? Apa adalah gas ideal? Ini berarti bahwa konservasi energi dan pertimbangan sistem tertutup berlaku. Dalam kasus gas kita itu berarti bahwa interaksi / tabrakan antara molekul semua benar-benar elastis. Gas yang menunjukkan sifat kaku diukur dalam interaksi mereka tidak dapat secara akurat diwakili oleh persamaan ini pada semua skala makroskopis.

Mengapa kita berbicara tentang semua ini? Nah matematika yang meniru terbaik struktur geometris QST sampai saat ditangkap oleh satu set persamaan yang dikenal sebagai mekanika Bohmian. Formalisme Bohmian telah ditunjukkan untuk membuat semua prediksi yang model standar mekanika kuantum membuat - identik - sambil tetap teori deterministik. Namun, mekanik Bohmian (dan persamaan standar mekanika kuantum) tidak mampu menggabungkan efek geometris gravitasi ke dalam model mereka.

Mari kita mengeksplorasi alasan calon mengapa hal ini terjadi. Dalam rangka untuk membuat formalisme Bohmian sepenuhnya mewakili geometri QST mari kita memperlakukan persamaan di formalisme ini sebagai ekspresi makroskopik interaksi ideal dari kuanta dari ruang-waktu. Sama seperti persamaan PV = nRT , Formalisme Bohmian mengasumsikan elastisitas sempurna dari konstituen yang mendasari dalam ekspresi makroskopik nya. Adalah mungkin bahwa semua harus kita lakukan untuk membawa gravitasi ke formalisme adalah untuk mendapatkan struktur yang mendasari yang berhubungan interaksi dari kuanta ruang-waktu dan termasuk sifat kaku orde kedua kecil pada mereka interaksi. Ini akan menjadi seperti pemodelan interaksi molekul dan memungkinkan mereka untuk memiliki sifat kaku sedikit. Melakukan hal ini akan memungkinkan kita untuk menghasilkan persamaan umum yang menangkap perilaku gas ideal dan gas non-ideal secara bersamaan.

Bagi yang berminat, di sini adalah derivasi dari himpunan Bohmian persamaan:

Mari kita mulai dengan mengatasi keadaan Tujuan dari fungsi gelombang pada tingkat mikroskopis. (Tingkat mikroskopis dalam hal ini berarti pada skala kuantum atau Planck.) Jika sistem kami (domain yang dipilih dari ruang-waktu) terdiri dari partikel N, maka deskripsi lengkap sistem yang akan selalu menyertakan spesifikasi posisi Q i dari masing-masing partikel tersebut. Pada sendiri, fungsi gelombang yang \Psi tidak memberikan gambaran lengkap dari keadaan sistem itu. Sebaliknya, deskripsi lengkap sistem kuantum ini harus diberikan oleh (Q, \Psi) dimana

Q = (Q_1, Q_2, Q_3 \ldots Q_N) \in \mathbb{R}^{3N}

adalah konfigurasi sistem dan

\Psi = \Psi(q) = \Psi(q_1, q_2, \ldots q_N)

a (normalisasi) fungsi pada ruang konfigurasi - dimensi superspatial - adalah fungsi gelombang nya.

Pada titik ini, semua harus kita lakukan untuk mendapatkan teori kami adalah menentukan hukum gerak bagi negara (Q, \Psi) . Tentu saja, pilihan paling sederhana kita dapat membuat di sini akan menjadi salah satu yang terhubung kausal. Dengan kata lain, salah satu yang masa depannya ditentukan oleh spesifikasi yang sekarang, dan lebih khusus lagi yang rata-rata negara Total tetap tetap - setidaknya dalam arti makroskopik akrab empat dimensi ruang-waktu. Untuk mendapatkan ini kita hanya perlu koreografi gerakan partikel oleh persamaan orde pertama yang menganggap interaksi elastis. Persamaan evolusi untuk \Psi adalah persamaan Schrödinger:

i\hbar\frac{\partial \Psi_t}{\partial t} = H\Psi_t = -\sum_{k = 1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_k} \nabla^2q_k \Psi_t + V\Psi_t

Dimana \Psi adalah fungsi gelombang dan V adalah energi potensial dari sistem.

Oleh karena itu, sesuai dengan pertimbangan kami sebelumnya, persamaan evolusi untuk Q harus:

\frac{d Q_t}{dt} = \upsilon^{\Psi_t}(Q_t) .

dengan \upsilon^\Psi = (\upsilon^\Psi_1, \upsilon^\Psi_2,\upsilon^\Psi_3, \ldots \upsilon^\Psi_N)

dimana \upsilon^\Psi mengambil bentuk (kecepatan) medan vektor pada ruang konfigurasi yang kita pilih \mathbb{R}^{3N} . Dengan demikian fungsi gelombang \Psi mencerminkan gerakan partikel dalam sistem kami dalam arti rata-rata-lebih makroskopik berdasarkan asumsi yang mendasari interaksi elastis. Gerakan ini dikoordinasikan melalui medan vektor yang didefinisikan pada ruang konfigurasi tertentu kami.

\Psi \mapsto \upsilon^\Psi

Jika kita hanya memerlukan waktu terbalik simetri dan kesederhanaan untuk terus dalam sistem kami (kebutuhan otomatis untuk teori deterministik) kemudian,

\upsilon^\Psi_k = \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi}

Perhatikan bahwa tidak ada ambiguitas di sini. Gradien \nabla di kanan sisi disarankan oleh rotasi invarian, yang \Psi di penyebut adalah konsekuensi dari homogenitas (akibat langsung dari fakta bahwa fungsi gelombang harus dipahami projectively, yang pada gilirannya pemahaman yang diperlukan untuk invarian Galilea persamaan Schrödinger saja), Im saat-terbalik simetri yang diimplementasikan pada \Psi oleh konjugasi kompleks sesuai dengan persamaan Schrödinger, dan konstanta di depan jatuh langsung dari persyaratan untuk kovarians bawah meningkatkan Galilea. 1

Oleh karena itu, persamaan evolusi untuk Q adalah

\frac{dQ_k}{dt} = \upsilon^\Psi_k (Q_1, Q_2, \ldots Q_N) \equiv \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi} (Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Ini melengkapi formalisme Bohmian mekanik bahwa David Bohm dibangun pada tahun 1952. 2 matematika mungkin muncul menakutkan tapi konsep-konsep yang luar biasa sederhana. Dalam konstruksi kami, kami telah dianggap menerapkan analogi gas yang terdiri dari elastis berinteraksi konstituen dengan kuanta sistem spactime kami. Sebagai perpanjangan dari model gelombang percontohan de Broglie 3 formalisme ini secara mendalam menggambarkan alam semesta nonrelativistik partikel N tanpa berputar. 4 spin harus disertakan untuk menjelaskan Fermi dan statistik Bose-Einstein. Bentuk penuh persamaan membimbing, yang ditemukan dengan mempertahankan konjugat kompleks dari fungsi gelombang, menyumbang semua fenomena kuantum yang tampaknya paradoks terkait dengan berputar. Untuk pertimbangan tanpa spin konjugat kompleks dari fungsi gelombang membatalkan karena muncul di pembilang dan penyebut dari persamaan. Bentuk penuh persamaan evolusi adalah:

 \frac{dQ_k}{dt} = \frac{\hbar}{m_k}Im\left[\frac{\Psi^*\partial_k \Psi}{\Psi^*\Psi}\right](Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Perhatikan bahwa sisi kanan dari persamaan membimbing adalah J / Q, rasio untuk saat probabilitas kuantum untuk kepadatan probabilitas kuantum. 5

Perhatikan bahwa asumsi ideal dalam bermain di sini adalah bahwa \rho = \left|\Psi\right|^2 . Dengan kata lain, transformasi \rho^\Psi \mapsto \rho^{\Psi_t} muncul langsung dari persamaan Schrödinger. Jika evolusi ini memang compactable, maka

(\rho^\Psi)_t = \rho^{\Psi_t}

adalah equivariant. Oleh karena itu, di bawah evolusi waktu \rho^\Psi mempertahankan bentuknya sebagai fungsi \Psi .

Jika Anda tertarik untuk mengambil bagian dalam rederiving set Bohmian dari interaksi yang mendasari yang pertama-order elastis dan orde kedua inelastis kirimkan email ke QST @ einsteinsintuition. Com.

Catatan:

1. Detlef Durr, Sheldon Goldstein, dan Nino Zanghi, 'Quantum Fisika Tanpa Quantum Philosophy,' pp. 5-6.

2. D. Bohm, 'Sebuah interpretasi yang disarankan dari teori kuantum dalam hal "tersembunyi" variabel,' Fisik Wahyu 85 (1952), hlm. 166-193.

3. L. de Broglie, 'La nouvelle dynamique des quanta,' Elektron et Foton: rapports et du Diskusi Cinquieme Conseil de Physique tenu sebuah Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 sous les naungan de l'Institut Internasional de Physique Solvay, Gautheir - Villars, Paris, 1928, hlm. 105-132.

4. Tentu saja dalam batas ħ / m = 0, Bohm gerak Q t mendekati gerak klasik. Lihat: D. Bohm dan B. Hiley, 'The Undivided Universe: Interpretasi Ontologis dari Teori Kuantum,' & Kegan Paul, London, 1993; Detlef Durr, Sheldon Goldstein, dan Nino Zanghi, 'Quantum Fisika Tanpa Quantum Philosophy,' p. 7.

5. Sheldon Goldstein, 'Mekanika Bohmian.' Untuk contoh lebih lanjut tentang bagaimana mudah berputar dapat ditangani dalam formalisme Bohmian lihat: JS Bell, 1966, hlm 447-452;. D. Bohm, 1952, hlm 166-193.; D. Durr dkk 'Sebuah survei dari Bohmian mekanik, Il Nuovo Vimento' dan 'mekanik Bohmian, partikel identik, parastatistics, dan anyons', Dalam persiapan.

Komentar (6)

Trackback URL | Komentar RSS Feed

  1. Ben mengatakan:

    Silakan kirim buku Anda.

  2. Jeff mengatakan:

    Silakan kirim buku Anda. Sangat tertarik untuk mempelajari lebih lanjut.

  3. Branton mengatakan:

    Nah jika Anda email mereka - saya ingin copy juga!

Tinggalkan balasan




Jika Anda ingin gambar untuk menunjukkan dengan komentar anda, pergi mendapatkan Gravatar.