6

Mekanik Bohmian

Pertimbangkan persamaan PV = nRT . Persamaan ini berkaitan tekanan, isi padu, dan suhu gas unggul. Semua ini konsep adalah makroskopik - bermakna bahawa pada peringkat molekul yang membentuk gas maksud 'tekanan,' 'kelantangan,' dan 'suhu' larut. Satu molekul tidak boleh mempunyai tekanan, ia tidak boleh dikatakan untuk mewakili jumlah gas, dan ia tidak mempunyai suhu. Ketiga-tiga konsep-konsep ini mula mengambil makna seperti yang kita zum keluar dan mempertimbangkan koleksi molekul dan mengambil kira usul mereka - seperti yang kita beralih dari skala mikroskopik kepada skala makroskopik.

Apa yang ia bermaksud untuk mengatakan bahawa persamaan ini berkaitan sifat-sifat gas unggul? Apakah yang dimaksudkan dengan gas ideal? Ini bermakna bahawa penjimatan tenaga dan pertimbangan sistem tertutup dikenakan. Dalam kes gas kami ia bermakna bahawa interaksi / perlanggaran antara molekul semua benar-benar elastik. Gas-gas yang mempamerkan sifat tegang yang boleh diukur dalam interaksi mereka tidak dapat ditunjukkan dengan tepat oleh persamaan ini di semua skala makroskopik.

Mengapa kita bercakap tentang semua ini? Well matematik yang meniru terbaik struktur geometri QST setakat ini ditangkap oleh satu set persamaan yang dikenali sebagai mekanik Bohmian. The formalisme Bohmian telah ditunjukkan untuk membuat semua ramalan bahawa model standard mekanik kuantum membuat - sepercaman - sementara baki teori berketentuan. Walau bagaimanapun, mekanik Bohmian (dan persamaan taraf mekanik kuantum) tidak berupaya untuk menggabungkan kesan geometri graviti ke dalam model mereka.

Mari kita meneroka sebab calon mengapa ini berlaku. Dalam usaha untuk membuat formalisme yang Bohmian sepenuhnya wakil geometri QST mari kita merawat persamaan dalam formalisme ini sebagai ungkapan makroskopik interaksi terunggul daripada quanta ruang masa. Sama seperti persamaan PV = nRT , Formalisme yang Bohmian menganggap keanjalan sempurna juzuk asas dalam ungkapan makroskopik itu. Ada kemungkinan bahawa apa yang harus kita lakukan untuk membawa graviti ke dalam formalisme ini adalah untuk mendapatkan struktur asas yang berkaitan interaksi quanta ruang-masa dan termasuk sifat tegang kedua untuk kecil dalam orang-orang interaksi. Ini akan menjadi seperti model interaksi molekul dan membolehkan mereka untuk mempunyai sifat tegang sedikit. Melakukan ini mungkin membolehkan kita untuk menghasilkan satu persamaan umum yang menangkap kelakuan gas ideal dan gas bukan ideal serentak.

Bagi mereka yang berminat, di sini adalah terbitan set Bohmian persamaan:

Mari kita mulakan dengan menangani keadaan objektif fungsi gelombang di peringkat mikroskopik. (Tahap mikroskopik dalam kes ini bermakna pada kuantum atau Planck skala.) Jika sistem kami (domain yang dipilih ruang masa) adalah terdiri daripada zarah N, maka penerangan lengkap sistem yang semestinya akan termasuk spesifikasi kedudukan Q i setiap mereka zarah. Dengan sendiri, fungsi gelombang yang \Psi tidak menyediakan butiran lengkap mengenai keadaan sistem itu. Sebaliknya, penerangan yang lengkap sistem kuantum ini mesti diberi oleh (Q, \Psi) di mana

Q = (Q_1, Q_2, Q_3 \ldots Q_N) \in \mathbb{R}^{3N}

ialah konfigurasi sistem dan

\Psi = \Psi(q) = \Psi(q_1, q_2, \ldots q_N)

fungsi (normal) pada ruang konfigurasi - dimensi superspatial - adalah fungsi gelombang.

Pada ketika ini, semua yang perlu kita lakukan untuk mendapatkan teori kita adalah menentukan undang-undang gerakan untuk negeri ini (Q, \Psi) . Sudah tentu, pilihan yang paling mudah yang boleh kita buat di sini akan menjadi salah satu sebab dan akibat yang disambungkan. Dalam erti kata lain, seseorang yang masa depannya ditentukan oleh spesifikasi sekarang, dan lebih khusus yang purata negeri jumlah masih tetap - sekurang-kurangnya dalam erti kata makroskopik yang biasa empat dimensi ruang-masa. Untuk mendapatkan ini, kita hanya perlu koreografi gerakan zarah oleh persamaan tertib pertama yang menganggap interaksi elastik. Persamaan evolusi untuk \Psi ialah persamaan Schrödinger:

i\hbar\frac{\partial \Psi_t}{\partial t} = H\Psi_t = -\sum_{k = 1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_k} \nabla^2q_k \Psi_t + V\Psi_t

Di mana \Psi adalah fungsi gelombang dan V adalah tenaga keupayaan sistem.

Oleh itu, selaras dengan pertimbangan kami sebelum ini, persamaan evolusi Q hendaklah:

\frac{d Q_t}{dt} = \upsilon^{\Psi_t}(Q_t) .

dengan \upsilon^\Psi = (\upsilon^\Psi_1, \upsilon^\Psi_2,\upsilon^\Psi_3, \ldots \upsilon^\Psi_N)

di mana \upsilon^\Psi mengambil bentuk (halaju) medan vektor pada ruang konfigurasi kami dipilih \mathbb{R}^{3N} . Oleh itu fungsi gelombang \Psi mencerminkan pergerakan zarah-zarah dalam sistem kami dalam makroskopik rasa purata-over berdasarkan andaian yang mendasari interaksi elastik. Usul ini diselaraskan melalui medan vektor yang ditakrifkan di ruang konfigurasi tertentu kami.

\Psi \mapsto \upsilon^\Psi

Jika kita hanya memerlukan simetri masa-terbalik dan kesederhanaan untuk memegang dalam sistem kami (keperluan automatik untuk teori berketentuan) itu,

\upsilon^\Psi_k = \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi}

Perhatikan bahawa tidak ada kesamaran di sini. Kecerunan \nabla di tangan kanan sebelah dicadangkan mengikut giliran invariance, yang \Psi dalam penyebut adalah akibat daripada kehomogenan (hasil langsung daripada fakta bahawa fungsi gelombang adalah untuk difahami projectively, yang seterusnya pemahaman yang diperlukan untuk invariance orang Galilea persamaan Schrödinger sahaja), Im pada masa-terbalik simetri yang dilaksanakan pada \Psi oleh conjugation kompleks selaras dengan persamaan Schrödinger, dan berterusan di hadapan jatuh langsung daripada keperluan untuk meningkatkan kovarians bawah Galilea itu. 1

Oleh itu, persamaan evolusi untuk Q

\frac{dQ_k}{dt} = \upsilon^\Psi_k (Q_1, Q_2, \ldots Q_N) \equiv \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi} (Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Ini telah sempurna dalam formalisme mekanik Bohmian bahawa David Bohm dibina pada tahun 1952. 2 matematik boleh muncul menakutkan tetapi konsepnya ialah menakjubkan mudah. Dalam pembinaan kami, kami telah mempertimbangkan menggunakan analogi gas yang terdiri daripada anjal berinteraksi juzuk kepada quanta sistem spactime kami. Sebagai lanjutan daripada perintis model gelombang de Broglie itu 3 formalisme ini secara menyeluruh menggambarkan alam semesta nonrelativistic zarah N tanpa putaran. 4 Spin harus disertakan untuk menyumbang Fermi dan statistik Bose-Einstein. Borang yang penuh dengan persamaan membimbing, yang terdapat dengan mengekalkan konjugat kompleks fungsi gelombang, akaun untuk semua fenomena kuantum nampaknya paradoks yang berkaitan dengan putaran. Untuk pertimbangan tanpa spin konjugat kompleks fungsi gelombang membatalkan kerana ia muncul dalam pengangka dan penyebut bagi persamaan. Borang yang penuh dengan persamaan evolusi ialah:

 \frac{dQ_k}{dt} = \frac{\hbar}{m_k}Im\left[\frac{\Psi^*\partial_k \Psi}{\Psi^*\Psi}\right](Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Perhatikan bahawa sebelah kanan persamaan membimbing J / Q, nisbah untuk semasa kuantum kebarangkalian ketumpatan kebarangkalian kuantum. 5

Ambil perhatian bahawa andaian terunggul dalam bermain di sini ialah \rho = \left|\Psi\right|^2 . Dalam erti kata lain, transformasi \rho^\Psi \mapsto \rho^{\Psi_t} timbul secara langsung daripada persamaan Schrödinger. Jika evolusi ini memang compactable, kemudian

(\rho^\Psi)_t = \rho^{\Psi_t}

adalah equivariant. Oleh itu, di bawah evolusi masa yang \rho^\Psi mengekalkan bentuknya sebagai fungsi \Psi .

Jika anda berminat untuk mengambil bahagian dalam rederiving set Bohmian daripada interaksi asas yang tertib pertama anjal dan kedua untuk tidak boleh berubah sila hantar e-mel kepada QST @ einsteinsintuition. Com.

Nota:

1. Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, dan Nino Zanghí, 'Fizik Kuantum Tanpa Falsafah Kuantum,' ms. 5-6.

2. D. Bohm, 'Satu tafsiran yang mencadangkan teori kuantum dari segi "tersembunyi" pembolehubah,' Wah Fizikal 85 (1952), ms. 166-193.

3. L. de Broglie, 'La nouvelle dynamique des quanta,' Elektron et Foton: Rapports et Perbincangan du Cinquieme Conseil de Physique tenu yang Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 sous les Naungan de l'Institut Antarabangsa de Physique Solvay, Gautheir - Villars, Paris, 1928, ms. 105-132.

4. Sudah tentu dalam had ħ / m = 0, Bohm gerakan Q t pendekatan gerakan klasik. Lihat: D. Bohm dan B. Hiley, 'The Universe yang tidak berbelah bahagi: sebuah Tafsiran ontologi Teori Kuantum,' Routledge & Kegan Paul, London, 1993; Detlef Durr, Sheldon Goldstein, dan Nino Zanghi, 'Fizik Kuantum Tanpa Falsafah Kuantum,' p. 7.

5. Sheldon Goldstein, 'Mekanik Bohmian. Untuk contoh lagi betapa mudahnya berputar boleh dinyatakan di dalam formalisme yang Bohmian lihat: JS Bell, 1966, ms 447-452;. D. Bohm, 1952, ms 166-193.; D. Dürr et al 'Tinjauan mekanik Bohmian, Il Nuovo Vimento' dan 'mekanik Bohmian, zarah yang serupa, parastatistics dan anyons', Sebagai persediaan.

Ulasan (6)

URL Trackback | Comments RSS Feed

  1. Ben berkata:

    Sila hantar buku anda.

  2. Jeff berkata:

    Sila hantar buku anda. Sangat berminat untuk mengetahui lebih lanjut.

  3. Branton berkata:

    Baik jika anda menghantar e-mel mereka - saya ingin salinan juga!

Tinggalkan pesanan




Jika anda mahu gambar untuk menunjukkan dengan komen anda, pergi mendapatkan Gravatar.