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Mecânica Bohmian

Considere a equação PV = nRT . Esta equação refere-se a pressão, o volume, e a temperatura de um gás ideal. Todos estes conceitos são macroscópico - o que significa que no nível das moléculas que compõem o gás o significado de 'pressão' ', o volume', e 'temperatura' se dissolve. Uma molécula não pode ter uma pressão, não se pode dizer que representam um volume de gás, e que não possui temperatura. Todos esses três conceitos começam a assumir significado à medida que diminuir o zoom e considerar uma coleção de moléculas e são responsáveis ​​por seus movimentos - como nós fazemos a transição de uma escala microscópica para uma escala macroscópica.

O que significa dizer que esta equação relaciona as propriedades de um gás ideal? O que é um gás ideal? Isso significa que a conservação de energia e as considerações de sistema fechado aplicar. No caso do nosso gás que significa que as interacções / colisões entre as moléculas são todos completamente elástica. Gases que apresentam inelasticidade mensurável em suas interações não pode ser representada com precisão por esta equação em todas as escalas macroscópicas.

Por que estamos falando sobre tudo isso? Bem a matemática que melhor mimetiza a estrutura geométrica de QST a data é capturado por um conjunto de equações conhecidas como mecânica Bohmian. O formalismo Bohmian foi mostrado para fazer todas as previsões de que o modelo padrão da mecânica quântica faz - de forma idêntica - mantendo-se uma teoria determinista. No entanto, a mecânica Bohmian (e as equações padrão da mecânica quântica) são incapazes de incorporar os efeitos geométricos de gravidade em seus modelos.

Vamos explorar um motivo candidato para porque este é o caso. A fim de tornar o formalismo Bohmian completamente representante da geometria do QST vamos tratar as equações neste formalismo como expressões macroscópicas de interações idealizadas do quanta de espaço-tempo. Assim como a equação PV = nRT , O formalismo Bohmian assume perfeita elasticidade dos constituintes subjacentes em suas expressões macroscópicos. É possível que todos nós temos de fazer para trazer de gravidade para o formalismo é fazer com que a estrutura subjacente que relaciona as interações do quanta espaço-tempo e incluem um pequeno inelasticidade de segunda ordem nessas interações. Isso seria como modelar interações moleculares e permitindo-lhes ter uma ligeira falta de elasticidade. Fazer isso pode permitir a produção de uma equação geral que captura o comportamento de gases ideais e gases não ideais simultaneamente.

Para os interessados, aqui é a derivação do conjunto Bohmian de equações:

Vamos começar por abordar o estado objectivo da função de onda no nível microscópico. (Nível microscópico, neste caso, significa na escala quântica ou Planck). Se nosso sistema (um domínio escolhido do espaço-tempo) é composto de partículas N, em seguida, uma descrição completa desse sistema incluirá, necessariamente, uma especificação das posições Q i de cada dessas partículas. Por si só, a função de onda \Psi não fornece uma descrição completa do estado de que o sistema. Em vez disso, a descrição completa deste sistema quântico deve ser dada pela (Q, \Psi) Onde

Q = (Q_1, Q_2, Q_3 \ldots Q_N) \in \mathbb{R}^{3N}

representa a configuração do sistema e

\Psi = \Psi(q) = \Psi(q_1, q_2, \ldots q_N)

uma função (normalizado) no espaço de configuração - as dimensões superspatial - é a sua função de onda.

Neste ponto, todos nós temos que fazer a fim de obter a nossa teoria é especificar a lei do movimento para o Estado (Q, \Psi) . É claro, a escolha mais simples, podemos fazer aqui seria aquele que está causalmente ligado. Em outras palavras, aquele cujo futuro é determinado por sua especificação presente, e, mais especificamente, cujo estado total médio permanece fixo - pelo menos no sentido macroscópico das quatro dimensões conhecidas do espaço-tempo. Para obter esse precisamos simplesmente para coreografar os movimentos de partículas por meio de equações de primeira ordem que assumem interações elásticas. A equação de evolução para \Psi é a equação de Schrödinger:

i\hbar\frac{\partial \Psi_t}{\partial t} = H\Psi_t = -\sum_{k = 1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_k} \nabla^2q_k \Psi_t + V\Psi_t

Onde \Psi é a função de onda e V é a energia potencial do sistema.

Portanto, de acordo com as nossas considerações anteriores, a equação de evolução para Q deve ser:

\frac{d Q_t}{dt} = \upsilon^{\Psi_t}(Q_t) .

com \upsilon^\Psi = (\upsilon^\Psi_1, \upsilon^\Psi_2,\upsilon^\Psi_3, \ldots \upsilon^\Psi_N)

Onde \upsilon^\Psi assume a forma de um (velocidade) no nosso campo de vectores espaço de configuração escolhida \mathbb{R}^{3N} . Assim, a função de onda \Psi reflecte o movimento das partículas no nosso sistema num sentido macroscópica média-over com base no pressuposto subjacente da interacção elástica. Esses movimentos são coordenados através de um campo vetorial que é definido em nosso espaço de configuração especificado.

\Psi \mapsto \upsilon^\Psi

Se nós simplesmente exigir simetria tempo-reverse e simplicidade para manter em nosso sistema (necessidades automáticas para uma teoria determinista), em seguida,

\upsilon^\Psi_k = \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi}

Observe que não há ambiguidades aqui. O gradiente \nabla na mão direita lado é sugerido pela invariância a rotação, o \Psi no denominador é uma consequência da homogeneidade (um resultado directo do facto de a função de onda é para ser entendido projetivamente, que é por sua vez uma compreensão necessária para a invariância Galileu da equação de Schrödin sozinho), o Im por tempo-reversa simetria quais é implementado em \Psi por conjugação complexa de acordo com a equação de Schrödinger, ea constante na frente cai diretamente para fora dos requisitos para a covariância sob impulsos de Galileu. 1

Portanto, a equação de evolução para o símbolo Q representa

\frac{dQ_k}{dt} = \upsilon^\Psi_k (Q_1, Q_2, \ldots Q_N) \equiv \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi} (Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Isso completa o formalismo da mecânica Bohmian que David Bohm construído em 1952. 2 A matemática pode parecer assustador, mas os conceitos são surpreendentemente simples. Em nossa construção que consideramos aplicar a analogia de um gás que está sendo feito de elasticamente interagindo constituintes para os quanta do nosso sistema spactime. Como uma extensão do modelo de onda piloto de Broglie 3 deste formalismo exaustivamente descreve um universo não-relativística de partículas N, sem rotação. 4 da rotação devem ser incluídos no fim de responderem por Fermi e as estatísticas de Bose-Einstein. O formulário completo da equação orientador, que é encontrado por reter o conjugado complexo da função de onda, é responsável por todos os fenômenos quânticos aparentemente paradoxal associada a rodada. Para considerações de rotação sem o conjugado complexo da função de onda cancela porque ele aparece no numerador e denominador da equação. O formulário completo da equação evolução é:

 \frac{dQ_k}{dt} = \frac{\hbar}{m_k}Im\left[\frac{\Psi^*\partial_k \Psi}{\Psi^*\Psi}\right](Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Note que o lado direito da equação é guiar J / Q, a taxa de probabilidade para a corrente quântico para a densidade de probabilidade quântica. 5

Note-se que o pressuposto idealizada em jogo que é aqui \rho = \left|\Psi\right|^2 . Em outras palavras, a transformação \rho^\Psi \mapsto \rho^{\Psi_t} surge diretamente da equação de Schrödinger. Se estas evoluções são, de facto compactable, em seguida,

(\rho^\Psi)_t = \rho^{\Psi_t}

é equivariante. Portanto, sob a evolução temporal \rho^\Psi mantém a sua forma, como uma função de \Psi .

Se você estiver interessado em participar rederiving o conjunto Bohmian de interações subjacentes que são de primeira ordem elástica e inelástica de segunda ordem por favor envie um e-mail para qst @ einsteinsintuition. Com.

Notas:

1. Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, e Nino Zanghì, "Física Quântica Sem Filosofia Quantum", pp. 5-6.

2. D. Bohm, 'A interpretação sugerida da teoria quântica em termos de variáveis ​​"ocultas", "Rev. Física 85 (1952), pp. 166-193.

3. L. de Broglie, 'La nouvelle dynamique des quanta, elétrons et Fótons: Rapports et Discussões du Conseil Cinquieme de Physique tenu um Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 sous les auspícios de l'Institut International de Physique Solvay, Gautheir - Villars, Paris, 1928, pp. 105-132.

4. Claro que no limite H / m = 0, o movimento Bohm Q t se aproxima do movimento clássico. Veja: D. Bohm e B. Hiley, 'The Undivided Universe: Interpretação Ontológico da Teoria Quântica,' Routledge & Kegan Paul, Londres, 1993; Detlef Durr, Sheldon Goldstein, e Nino Zanghi, "Física Quântica Sem Filosofia Quantum ', p. 7.

5. Sheldon Goldstein, "Mecânica Bohmian. ' Para mais exemplos de como é fácil girar pode ser tratada no formalismo Bohmian ver: JS Bell, 1966, pp 447-452;. D. Bohm, 1952, pp 166-193.; D. Dürr et al "Uma pesquisa da mecânica Bohmian, Il Nuovo Vimento" e "mecânica Bohmian, partículas idênticas, parastatistics e anyons", em preparação.

Comentários (6)

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  1. Ben diz:

    Por favor, envie o seu livro.

  2. Jeff diz:

    Por favor, envie o seu livro. Muito interessado em aprender mais.

  3. Branton diz:

    Bem, se você está enviando-os - Eu gostaria de uma cópia também!

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