6

Bohmian mekanik

Betrakta ekvation PV = nRT . Denna ekvation avser tryck, volym och temperatur för en ideal gas. Alla dessa begrepp är makroskopiska - vilket innebär att om nivån på de molekyler som bygger upp gasen innebörden av "tryck", "volym" och "temperatur" upplöses. En molekyl kan inte ha en tryck, det kan inte sägas representera en volym av gas, och det inte besitter temperatur. Alla tre av dessa begrepp börjar ta på betydelse som vi zoomar ut och överväga en samling av de molekyler och redogöra för sina rörelser - som vi övergången från en mikroskopisk skala till en makroskopisk skala.

Vad innebär det att säga att denna ekvation avser egenskaperna hos en ideal gas? Vad är en ideal gas? Det betyder att energisparande och stängda överväganden systemet tillämpas. När det gäller vår gas betyder det att växelverkan / kollisioner mellan molekylerna är alla helt elastisk. Gaser som uppvisar mätbara oelastisk i deras interaktioner kan inte exakt representeras av denna ekvation på alla makroskopiska skalor.

Varför pratar vi om allt det här? Väl matematik som bäst efterliknar den geometriska strukturen av QST hittills fångas av en uppsättning ekvationer som kallas Bohmian mekanik. Den Bohmian formalism har visat sig göra alla förutsägelser som standardmodellen av kvantmekaniken gör - identiskt - samtidigt som den är en deterministisk teori. Men Bohmian mekanik (och standardekvationer kvantmekanik) är oförmögna att införliva de geometriska effekterna av gravitation i sina modeller.

Låt oss undersöka en kandidat anledning till varför så är fallet. För att göra den Bohmian formalismen helt representativa för geometrin hos QST låt oss behandla ekvation i denna formalism som makroskopiska uttryck för idealiserade interaktioner av kvanta av rymdtid. Precis som ekvationen PV = nRT Antar Bohmian formalism perfekt elasticitet av de underliggande beståndsdelarna i dess makroskopiska uttryck. Det är möjligt att allt vi behöver göra för att få allvar i formalism är att komma till den underliggande strukturen som avser samverkan mellan rymdtid kvanta och inkluderar en liten andra ordningens oelastisk i dessa interaktioner. Det skulle vara som att modellera molekylära interaktioner och låta dem ha en liten oelastisk. Att göra detta kan tillåta oss att producera en allmän ekvation som fångar beteendet av ideala gaser och icke-ideala gaser samtidigt.

För dem som är intresserade, här är härledningen av Bohmian uppsättning ekvationer:

Låt oss börja med att ta itu med målet tillstånd vågfunktionen på mikroskopisk nivå. (Mikroskopisk nivå i detta fall innebär på kvant eller Planck skala.) Om vårt system (en vald domän rumtiden) består av N-partiklar, sedan en fullständig beskrivning av detta system kommer med nödvändighet att omfatta en specifikation av positionerna Q i varje av dessa partiklar. På egen hand, vågfunktionen \Psi inte ge en fullständig beskrivning av tillståndet i detta system. I stället måste den fullständiga beskrivningen av denna kvantsystemet ges av (Q, \Psi) var

Q = (Q_1, Q_2, Q_3 \ldots Q_N) \in \mathbb{R}^{3N}

är konfigurationen av systemet och

\Psi = \Psi(q) = \Psi(q_1, q_2, \ldots q_N)

en (normaliserad) funktionen konfigurationsrummet - de superspatial dimensioner - är dess vågfunktion.

Vid denna punkt, allt vi behöver göra för att få vår teori är att ange lagen om rörelse för staten (Q, \Psi) . Naturligtvis skulle den enklaste valet vi kan göra här vara ett som kausalt är ansluten. Med andra ord, är en vars framtid bestäms av dess nuvarande specifikation, och mer specifikt vars genomsnittliga totala statliga förblir fast - åtminstone i den makroskopiska känsla av den välbekanta fyra dimensioner av rymdtid. För att uppnå detta behöver vi helt enkelt att koreografera partikelresolutionsförslagen från första ordningens ekvationer som antar elastiska interaktioner. Utvecklingen Ekvationen för \Psi är Schrödingers ekvation:

i\hbar\frac{\partial \Psi_t}{\partial t} = H\Psi_t = -\sum_{k = 1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_k} \nabla^2q_k \Psi_t + V\Psi_t

Var \Psi är vågfunktionen och V är den potentiella energin hos systemet.

Därför, i linje med våra tidigare överväganden bör utvecklingen ekvationen för Q vara:

\frac{d Q_t}{dt} = \upsilon^{\Psi_t}(Q_t) .

med \upsilon^\Psi = (\upsilon^\Psi_1, \upsilon^\Psi_2,\upsilon^\Psi_3, \ldots \upsilon^\Psi_N)

var \upsilon^\Psi tar formen av en (hastighet) vektorfält på våra valda konfigurationsrum \mathbb{R}^{3N} . Sålunda vågfunktionen \Psi återspeglar rörelsen av partiklarna i vårt system i en makroskopisk genomsnitt över känsla baserad på det underliggande antagandet av elastiskt interaktion. Dessa rörelser samordnas genom ett vektorfält som definieras på vår angivna konfigurationsrummet.

\Psi \mapsto \upsilon^\Psi

Om vi behöver helt enkelt tids omvänd symmetri och enkelhet att hålla i vårt system (automatisk nödvändigheter för en deterministisk teori) sedan,

\upsilon^\Psi_k = \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi}

Lägg märke till att det inte finns några tvetydigheter här. Gradienten \nabla på den högra sidan föreslås genom rotation invarians, den \Psi i nämnaren är en konsekvens av homogenitet (ett direkt resultat av det faktum att vågfunktionen skall förstås projectively, som i sin tur en förståelse som krävs för den galileiska invarians av Schrödingers ekvation ensam), Im genom tids omvänd symmetri som genomförs på \Psi genom komplexkonjugationssignal i enlighet med Schrödingers ekvation, och den ständiga framför faller direkt ur kraven för samvariation i galileiska ökar. 1

Därför är utvecklingen ekvationen för Q

\frac{dQ_k}{dt} = \upsilon^\Psi_k (Q_1, Q_2, \ldots Q_N) \equiv \frac{\hbar}{m_k} Im \frac{\nabla q_k \Psi}{\Psi} (Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Detta avslutar formalism Bohmian mekaniker som David Bohm byggda 1952. 2 matematik kan verka skrämmande men begreppen är otroligt enkelt. I vår konstruktion har vi ansett att tillämpa jämförelsen med en gas som består av elastiskt samverkande beståndsdelar till kvanta av vårt spactime systemet. Som en förlängning av de Broglie pilot vågmodell 3 denna formalism visar uttömmande en nonrelativistic universum av N-partiklar utan spinn. 4 Spin måste ingå i syfte att redogöra för Fermi och Bose-Einstein statistik. Den fullständiga form av styr ekvation, som finns genom att behålla komplexkonjugatet av vågfunktionen, står för all den till synes paradoxala kvantfenomen i samband med spinn. För överväganden utan spin komplexkonjugatet av vågfunktionen avbryter eftersom det verkar i täljare och nämnare i ekvationen. Den fullständiga formen av utvecklingen Ekvationen är:

 \frac{dQ_k}{dt} = \frac{\hbar}{m_k}Im\left[\frac{\Psi^*\partial_k \Psi}{\Psi^*\Psi}\right](Q_1, Q_2, \ldots Q_N)

Lägg märke till att den högra sidan av styr ekvationen är J / Q, kvoten för kvantsannolikhetsströmmen till kvantsannolikhetstätheten. 5

Observera att den idealiserade antagandet i spel här är att \rho = \left|\Psi\right|^2 . Med andra ord, omvandlingen \rho^\Psi \mapsto \rho^{\Psi_t} uppstår direkt från Schrödingers ekvation. Om denna utveckling verkligen komprimer, sedan

(\rho^\Psi)_t = \rho^{\Psi_t}

är equivariant. Därför, under tidsutvecklingen \rho^\Psi behåller sin form som en funktion av \Psi .

Om du är intresserad av att delta i rederiving den Bohmian uppsättningen från underliggande interaktioner som är första ordningens elastisk och andra ordningens oelastisk vänligen skicka ett mail till QST @ einsteinsintuition. Com.

Anmärkningar:

1. Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, och Nino Zanghí "kvantfysik Utan Quantum filosofi," pp. 5-6.

2. D. Bohm, "En föreslagen tolkning av kvantmekaniska teorin i termer av" dolda "variabler" Physical Rev. 85 (1952), pp. 166-193.

3. L. de Broglie, "La nouvelle dynamique des kvanta," Elektroner et Fotoner: Rapporter et Diskussioner du Cinquieme Conseil de Physique tenu a Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 sous les beskydd de l'Institut International de Physique Solvay, Gautheir - Villars, Paris, 1928, s. 105-132.

4. Naturligtvis i gränsen h / m = 0, närmar sig Bohm rörelse Q t den klassiska rörelse. Se: D. Bohm och B. Hiley, "odelade universum: en ontologisk tolkning av Quantum Theory" Routledge & Kegan Paul, London, 1993; Detlef Durr, Sheldon Goldstein, och Nino Zanghi "kvantfysik Utan Quantum filosofi", sid. 7.

5. Sheldon Goldstein, "Bohmian mekanik." För ytterligare exempel på hur lätt snurra kan hanteras i Bohmian formalism se: JS Bell, 1966, sid 447-452;. D. Bohm, 1952, sid 166-193. D. Dürr et al "En kartläggning av Bohmian mekanik, Il Nuovo Vimento" och "Bohmian mekanik, identiska partiklar, parastatistics och anyons", som en förberedelse.

Kommentarer (6)

Trackback URL | Kommentarer RSS-flöde

  1. Ben säger:

    Vänligen skicka din bok.

  2. Jeff säger:

    Vänligen skicka din bok. Mycket intresserad av att lära sig mer.

  3. Branton säger:

    Tja om du e-posta dem - Jag vill ha en kopia också!

Lämna ett svar




Om du vill ha en bild att visa med din kommentar, gå och hämta en Gravatar.